Proposition :
Pour la topologie de \((E,d)\), l'ensemble \({\mathcal B}\) des boules ouvertes forme une base de \(E\)
Proposition :
L'ensemble des boules ouvertes centrées sur \(x\) forme une base de voisinages de \(x\)
(Base de voisinages)
Remarque :
On peut définir la topologie d'un espace métrique : $$\tau={{\{A\subset E\mid\forall x\in A,\exists r\gt 0,B(x,r)\subset A\} }}$$
Proposition :
Les espaces métriques sont des bases de voisinages dénombrables
On peut donc y utiliser les caractérisations séquentielles
Convergence
Caractérisation de la convergence dans un espace métrique :
$$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\gt 0,\forall n\geqslant N,\qquad d(x_n,x)\leqslant\varepsilon$$ pour toute boule \(B\) de centre \(x\) et de rayon strictement positif, il existe \(N\gt 0\) tq \(\forall n\geqslant N\), \(x_n\in B\)
Définition :
Soit \((E,d)\) un espace métrique
On appelle topologie engendrée par \(d\) la topologie qui contient les boules ouvertes \(B(x,r)=\{y\in E\mid d(x,y)\lt r\}\)
(Topologie - Espace topologique)
Distances équivalentes
Définition de distances équivalentes :
soient \(d_1,d_2\) deux distances sur \(E\)
il existe \(C_1,C_2\gt 0\) tels que $$\forall x,y\in E,C_1 d_1(x,y)\leqslant d_2(x,y)\leqslant C_2 d_1(x,y)$$
$$\Huge\iff$$
on dit que \(d_1\) et \(d_2\) sont équivalentes
Proposition :
Deux distances équivalentes engendrent la même topologie
Deux distances qui engendrent la même topologie ne sont pas nécessairement équivalentes
Exemple : $$d(x,y)=\frac{\lvert x-y\rvert}{1-\lvert x-y\rvert}$$
Proposition :
\(d_1\) et \(d_2\) définissent la même topologie \(\iff\) \(\operatorname{Id}\) est un homéomorphisme
Proposition :
\(d_1\) et \(d_2\) sont équivalentes \(\implies\) \(\operatorname{Id}\) est lipschitzienne d'inverse lipschitzien
Exemples
\(d(x,y)={{\lvert\arctan x-\arctan y\rvert}}\) définit sur \({\Bbb R}\) la même topologie que la distance usuelle